Jeżeli za istotę piękna uznamy, jak starożytni, symetrię, to współcześni fizycy staną się nie tylko poszukiwaczami prawdy, ale również estetami na skalę kosmiczną
Richard Feynman, genialny fizyk i wzięty gawędziarz, opowiadał, jak pewnego razu został oskarżony przez swojego przyjaciela malarza o odzieranie świata z piękna. „Jako artysta wiem, jak piękny może być kwiat” – usłyszał – „ale ty, jako naukowiec, rozkładasz go na kawałki, przez co staje się on nijaki”.
Zdaniem Feynmana taki zarzut jest kompletnie nieprawdziwy. Dla niego wiedza o komórkowej budowie roślin, fizyce barw i widzenia, albo o koewolucji roślin okrytozalążkowych i owadów „tylko potęguje entuzjazm, tajemniczość i podziw, jaki odczuwamy w stosunku do kwiatu. Tylko potęguje. Nie mieści mi się w głowie, że mogłaby je osłabiać.” Innymi słowy, nauki przyrodnicze nie tylko nie niszczą, ale wręcz wzbogacają estetyczne doznawanie świata.
Nie trzeba chyba nikogo przekonywać, że nauka i technika otwierają nam oczy na coraz to nowe źródła zachwytu – wystarczy przywołać zdjęcie-ikonę „The Blue Marble”, obrazy przesłane przez sondy Voyager i Cassini lub te zrobione przez Teleskop Hubble’a. Ale Feynmanowi nie chodziło tylko o piękno w oku patrzącego przez mikro- i teleskopy. Uczony ten miał na myśli piękno Wszechświata widzianego przez pryzmat teorii naukowych, ale także o piękno i elegancję samych teorii.
Co ma jednak mają wspólnego zmatematyzowane nauki przyrodnicze z estetyką? Aby to wyjaśnić, musimy wrócić do samych początków zarówno matematyki, jak i systematycznej refleksji nad pięknem, a więc do czasów starożytnej Grecji, ponad pięćset lat przed Chrystusem.
Krótka historia piękna
Być może Pitagoras z Samos nie był pierwszym, który zauważył, że dźwięki wydawane przez struny o długościach pozostających do siebie w stosunkach 2:1, 3:2 lub 4:3 przyjemnie współbrzmią. Na pewno jednak jako pierwszy dostrzegł w tym coś więcej niż ciekawostkę. Ba! To, że harmonią dźwięków rządzą proste stosunki liczbowe, było dla niego przejawem najgłębszej prawdy o świecie – że istotą piękna oraz zasadą Natury są proporcja i liczba. Według Pitagorasa Wszechświat odznacza się porządkiem, ładem, i jako taki zasługuje na miano Kosmosu (gr. kosmein – porządkować, ozdabiać). Zgodnie z pitagorejską filozofią piękno jest czymś obiektywnym i racjonalnym, a kluczem do jego zrozumienia, a w konsekwencji do zrozumienia Kosmosu, jest matematyka. Była to wizja, która legła u fundamentów całego przyrodoznawstwa, a nawet nauki jako takiej, o czym świadczy choćby to, iż tak podstawowe nazwy jak „Kosmos”, „filozofia” i „matematyka” pochodzą właśnie od Pitagorasa i jego uczniów.
Półtora wieku później Platon wpisał pitagorejskie rozumienie piękna w ramy swojej teorii idei. Również dla niego piękno, jako idea manifestująca się w harmonii dzieł muzycznych oraz w proporcjach i symetriach brył geometrycznych (a także, co ciekawe, w moralnych myślach i obyczajach), było nierozerwalnie związane z naturą świata. Wszak dobry Demiurg, tworząc Kosmos z pierwotnego Chaosu, na pewno stosował się do uniwersalnych zasad estetyki. A zatem, uczy Platon, gdy skierujemy uwagę rozumu na geometryczne piękno, niezawodnie doprowadzi nas ono do prawdy o świecie. Dla Platona oczywiste i logicznie nieuchronne było na przykład to, że Ziemia, inne ciała niebieskie oraz cały Wszechświat mają kształt kuli albo sfery – najbardziej symetrycznych, a tym samym najdoskonalszych figur.
Tzw. Wielka Teoria Piękna, która utożsamiała to ostatnie z symetrią i proporcją była powszechnie uznawana przez niemal dwa tysiąclecia. Dopiero w połowie XVI w. wysunięto wobec niej pierwsze poważniejsze zastrzeżenia, a w okresie baroku wśród myślicieli zaczął przeważać pogląd, że uroda wcale nie jest czymś obiektywnym jak kształt czy ciężar, lecz istnieje jedynie w subiektywnym oku patrzącego. Jak jednak pisze ks. Michał Heller, „Wielka Teoria przetrwała – a nawet, powiedziałbym, rozwinęła się – w jednej tylko gałęzi sztuki – w fizyce teoretycznej”. Wiązało się to z ewolucją pojęcia symetrii. Przyjrzyjmy się więc, jak rozumieją ją współcześni fizycy i matematycy.
Matematyka symetrii
Co to właściwie znaczy, że figura geometryczna odznacza się symetrią? Aby odpowiedzieć na to pytanie, spróbujmy zdecydować, która litera jest bardziej symetryczna: T czy H? Zauważmy najpierw, że obie te litery przerzucone w poziomie pozostają sobą – wyglądają tak samo przed i po tej operacji. Z drugiej strony, jeśli przerzucimy je w pionie, to jedynie H wyjdzie z tej operacji bez szwanku.
Operację, po której wykonaniu dany obiekt wygląda tak samo jak na początku, matematycy nazywają „symetrią” tego obiektu. Litera T ma tylko dwie symetrie – przerzucenie poziome oraz tzw. symetrię trywialną, czyli operację polegającą na… nierobieniu niczego (analogicznie mnożenie przez 1, choć nic nie zmienia, też jest mnożeniem). Za to litera H ma aż cztery symetrie: trywialną, przerzuty w poziomie i w pionie, a także obrót o 180 stopni (w płaszczyźnie kartki). Jako posiadająca więcej symetrii, H jest więc bardziej symetryczna niż T. Koniec dowodu.
No dobrze, ale gdzie w tym wszystkim związek z fizyką? Otóż okazuje się, iż powyższa definicja symetrii daje się stosować nie tylko do obiektów geometrycznych. Słowo „obiekt” może w niej oznaczać coś bardziej abstrakcyjnego, na przykład… teorię fizyczną.
Od czasów Newtona teorie fizyki formułuje się w postaci matematycznych struktur (przeważnie układów równań różniczkowych) wraz z precyzyjnym wyjaśnieniem, do jakich aspektów rzeczywistości struktury te się odnoszą, co opisują (czy też raczej modelują). Te formalne, matematyczne struktury zazwyczaj posiadają różnorakie symetrie. Wyobraźmy sobie na przykład, że chcemy przewidzieć ruch sondy kosmicznej po Układzie Słonecznym za pomocą równań Newtona. Musimy w tym celu wybrać sobie pewien układ współrzędnych. Oczywiście, z fizycznego punktu widzenia jest wszystko jedno, gdzie umieścimy początek tego układu i jak zorientujemy jego trzy osie – równania będą wyglądać zasadniczo tak samo. Zwróćmy uwagę, że oznacza to, iż operacje polegające na przechodzeniu między różnymi (inercjalnymi) układami współrzędnych są symetriami równań Newtona. Podobną swobodę mamy także z umiejscowieniem zera na osi czasu – wszak dla naszej sondy kosmicznej nie ma znaczenia, czy dziś jest AD 2020, czy też 2773 od założenia Rzymu.
Co zaskakujące, z istnienia tych prostych, by nie rzec banalnych symetrii, wynikają już dwa głębokie prawa przyrody: zasada zachowania pędu i zasada zachowania energii! Wynika to z tzw. twierdzenia Noether, które przez wielu uważane jest za najpiękniejszy rezultat całej fizyki teoretycznej. Podkreślmy: źródłem jednych z najważniejszych zasad fizyki okazują się być symetrie obecne w przyrodzie, odzwierciedlane w matematycznej strukturze teorii fizycznych.
Piękno jest prawdą
Albert Einstein uważał, że dobra teoria fizyczna, obok zgodności z doświadczeniem, musi odznaczać się „wewnętrznym pięknem” (inner perfection). Podobnie jak u Platona, dla autora teorii względności estetyka stanowiła jedno z kryteriów prawdziwości. Dostarczała też wskazówek w naukowych poszukiwaniach.
Ważną rolę odgrywała tu ponownie matematyczna symetria. Tzw. zasada równoważności, którą Einstein uznał za „najszczęśliwszą myśl swojego życia”, i która legła u podstaw jego teorii grawitacji, głosi w istocie, że wszystkie (już nie tylko inercjalne) układy odniesienia są równoprawne. Choć postulat ten wydaje się banalny, w rzeczywistości nakłada bardzo silne ograniczenia na teorie fizyczne. Okazało się, iż żadne równania fizyki klasycznej nie były wystarczająco symetryczne, by czynić mu zadość – Einstein musiał poszukać innej struktury matematycznej na ich miejsce. Odnalazł ją w geometrii wielowymiarowych, zakrzywionych przestrzeni – bardzo nowoczesnej i abstrakcyjnej dziedzinie znanej wówczas niemal wyłącznie matematykom. Dopiero przyjęcie, że przestrzeń i czas są aspektami głębszej, czterowymiarowej struktury geometrycznej – czasoprzestrzeni – pozwoliło spełnić zasadę równoważności oraz Einsteinowski wymóg piękna. A przy okazji zrewolucjonizować naszą wiedzę o Wszechświecie.
Podobny pogląd na doniosłą rolę piękna i symetrii w teoretycznych poszukiwaniach żywił Paul Dirac, jeden z ojców mechaniki kwantowej. Jak głosi anegdota, gdy poproszono go kiedyś o streszczenie jego filozofii fizyki, z natury małomówny Dirac podszedł do tablicy i wielkimi literami napisał: „TEORIE FIZYCZNE POWINNY POSIADAĆ MATEMATYCZNE PIĘKNO”. Nie uważał tak bezpodstawnie – to właśnie jemu jako pierwszemu udało się w 1928 roku skutecznie pożenić mechanikę kwantową z symetriami narzuconymi przez szczególną teorię względności. Struktura matematyczna tzw. równania Diraca okazała się jednak dużo bardziej pojemna niż sądzono – nie tylko w naturalny sposób zawierała w sobie tajemniczą czysto kwantową wielkość fizyczną zwaną spinem, ale dodatkowo było w niej miejsce na nowy, „lustrzany” odpowiednik materii. Tę przewidzianą na gruncie czystej teorii antymaterię po raz pierwszy udało się potwierdzić eksperymentalnie już kilka lat później, gdy odkryto cząstkę nazwaną pozytonem – obdarzoną ładunkiem dodatnim „antymaterialną” wersję elektronu.
Już wkrótce miało się okazać, że pozyton to tylko czubek góry lodowej, a symetria odgrywa w mechanice kwantowej znacznie głębszą rolę niż przypuszczali jej twórcy.
Kwantowe symetrie
Na początku lat 30. świat cząstek subatomowych jawił się jako prawdziwie elementarny i prosty: atomy były zbudowane z protonów, neutronów i elektronów, a fotony – cząstki światła – przenosiły (w nie do końca zrozumiały wtedy sposób) oddziaływania elektromagnetyczne. Prostoty nie psuł nowo odkryty pozyton, przewidziany już wcześniej przez Diraca.
Wkrótce jednak nowe, potężniejsze przyrządy eksperymentalne zaczęły niemal „taśmowo” generować nieznane wcześniej cząstki. Na początku lat 60. fizycy znali już setki cząstek subatomowych – głównie tzw. hadronów – i nie mogli pogodzić się z tym, że cała ta menażeria to cząstki faktycznie elementarne. Taka rozmaitość podstawowych składników materii była dla nich czymś skrajnie nieestetycznym. Fizyk Wolfgang Pauli żartował, iż gdyby wiedział wcześniej, że tak będzie, zostałby botanikiem. Podobnie jak niemal sto lat wcześniej Dymitr Mendelejew, uczeni próbowali przynajmniej poukładać hadrony w tabele porządkujące ich własności. To się częściowo udało, ale wciąż brakowało głębszej zasady, która z tego Chaosu uczyniłaby Kosmos.
Przełom nastąpił, gdy w 1961 r. fizycy Murray Gell-Mann i Juwal Ne’eman niezależnie od siebie zauważyli, że tabele mające porządkować hadrony przypominają diagramy sporządzane przez matematyków zajmujących się tzw. grupami Liego – subtelnymi strukturami, które norweski matematyk Marius Sophus Lie wyabstrahował z symetrii równań różniczkowych jeszcze pod koniec XIX w.
Gell-Mann i Ne’eman wykazali, że jeśli tylko oddziaływania między hadronami, oprócz spełniania symetrii wymaganymi przez szczególna teorię względności odznaczają się dodatkowo symetriami zadanymi przez pewną szczególną grupę Liego (oznaczaną symbolem SU(3)), to ich mnogość i własności stają się w pełni zrozumiałe, wręcz konieczne. Mało tego, pewne czysto matematyczne cechy grupy SU(3) zasugerowały Gell-Mannowi (i, niezależnie, George’owi Zweigowi), że istnieją pewne bardziej elementarne cząstki-cegiełki, z których zbudowane są wszystkie hadrony. Tak właśnie zgłębianie matematycznej symetrii doprowadziło do odkrycia kwarków.
Model Gell-Manna i Zweiga przewidywał, że istnieją trzy rodzaje kwarków (oznaczane literami u, d, oraz s) oraz dalsze trzy antykwarki. Poszczególne hadrony składały się w tym modelu albo z trzech kwarków (bariony), albo z trzech antykwarków (antybariony), albo z pary kwark-antykwark (mezony). Przykładowo, proton to barion zbudowany z dwóch kwarków u i jednego kwarka d.
Inni fizycy dość zgodnie przyznawali, że grupa SU(3) pozwala w elegancki sposób ogarnąć hadronowy galimatias, ale w większości podchodzili sceptycznie do istnienia kwarków, traktując je jako matematyczny artefakt. Wystarczyło jednak zaledwie kilka lat, by model kwarkowy zyskał spektakularne potwierdzenie eksperymentalne – najpierw odkryto nowy, przewidziany przez Gell-Manna i Ne’emana hadron (tzw. barion Ω–), a wkrótce potem doświadczenia przeprowadzone w akceleratorze SLAC udowodniły, że protony i neutrony rzeczywiście muszą się składać z trzech mniejszych cząstek.
Choć w latach 70. okazało się, że w przyrodzie istnieje nie trzy, a sześć kwarków (i tyleż antykwarków), a model budowy hadronów trzeba jeszcze wzbogacić o tzw. gluony, to teoria opisująca oddziaływania wszystkich powyższych cząstek – tzw. chromodynamika kwantowa – bazuje właśnie na symetriach grupy SU(3).
Współczesną teorię cząstek elementarnych – ujętą w tzw. model standardowy – a także niektóre z jego proponowanych rozszerzeń znanych jako „teorie wielkiej unifikacji” albo GUT-y (ang. Grand Unification Theories) są rozwinięciami idei Gell-Manna i Zweiga. Tak jak Einstein musiał znaleźć bardziej symetryczną strukturę matematyczną, aby jego teoria spełniała zasadę równoważności, tak dziś grupę SU(3) zastępuje się innymi, jeszcze bogatszymi w symetrie obiektami, które mają objąć więcej (a najlepiej wszystkie) ze znanych oddziaływań.
Trzeba w tym momencie wspomnieć, że ważnym składnikiem modelu standardowego jest łamanie niektórych symetrii – na przykład to właśnie dzięki subtelnym odstępstwom od pełnej symetrii, która miała panować u zarania Wszechświata, tuż po Wielkim Wybuchu, niektóre cząstki posiadają masę, a inne nie (odpowiada za to tzw. mechanizm Higgsa). Wydaje się, że Wszechświat musiał utracić pełną symetryczność, aby mogła powstać w nim obserwowana różnorodność cząstek. Wszyscy jesteśmy „dziećmi złamanej Symetrii”.
Dzięki niedawnemu odkryciu bozonu Higgsa potwierdzono już istnienie wszystkich cząstek elementarnych przewidywanych przez Model Standardowy. Tych przewidywanych przez GUT-y szuka się w morzu danych gromadzonych przez akceleratory i teleskopy – póki co bez przekonujących rezultatów.
Być może ich nie znajdziemy. Być może nasze obecne sny o symetriach unifikacji są naiwne – niektóre GUT-y zostały już zresztą wykluczone eksperymentalnie. Kto wie, czy nie jesteśmy jak Platon z jego doskonale sferycznym Kosmosem lub jak Johannes Kepler, który za pomocą brył platońskich „udowodnił”, że musi istnieć dokładnie sześć planet, czyli tyle, ile znano za jego życia.
Kanony piękna z czasem się zmieniają. Nie jest powiedziane, że poczucie matematycznego piękna, które badacze przejęli od Einsteina i Diraca będzie zawsze dobrym przewodnikiem w teoretycznych poszukiwaniach. Niemniej, gdy kiedyś w fizyce nastąpi kolejny przełom, z pewnością znów adekwatne okażą się wersy wieńczące „Odę do greckiej urny” Johna Keatsa:
„Piękno jest prawdą, prawda pięknem”, — oto
Co wiesz na ziemi, i co wiedzieć trzeba.
Tekst stanowi rozszerzoną i zaktualizowaną wersję artykułu opublikowanego w „Tygodniku Powszechnym” 21/2016.
dr Tomasz Miller (Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych, Uniwersytet Jagielloński), doktor, fizyk matematyczny, zgłębia struktury geometryczne leżące na pograniczu ogólnej teorii względności i mechaniki kwantowej, autor i współautor kilkunastu artykułów naukowych i popularnonaukowych, adiunkt w Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych Uniwersytetu Jagiellońskiego.
